Compléments de mathématiques-S
Objectifs
Cet enseignement vise à donner des compléments d’algèbre et d’analyse utiles pour le suivi des cours de probabilités, de statistique et d’optimisation. A l’issue de cet enseignement, les étudiants devront savoir utiliser les techniques élémentaires de réduction des endomorphismes ainsi que les propriétés de base des projecteurs orthogonaux qui seront reprises en statistique exploratoire multivariée. Pour la partie d’analyse, les étudiants sauront étudier des cas simples de convergence de suites ou de séries de fonctions, indispensables pour les cours d’intégration et de probabilités. Les notions de base concernant la dérivation des fonctions de plusieurs variables seront également abordées et seront fondamentales pour les cours de méthodes numériques, de statistique inférentielle et tous les cours de régression de deuxième année.
Plan
1. Réduction des endomorphismes : valeurs propres, sous-espaces propres, critère de diagonalisabilité, polynôme caractéristique, matrices semblables, polynômes de matrices. Produit scalaire et orthogonalité : formes bilinéaires, quadratiques, matrices symétriques définies positives, définition d’un espace euclidien, du produit scalaire, norme, orthogonalité, bases orthogonales, orthonormées. Projections : définition, propriétés en termes de rang, de matrices semblables, propriétés des matrices de ces applications sur un espace vectoriel normé, caractéristique en termes de norme, théorème de la projection orthogonale, application à la régression linéaire simple. Séries numériques : convergence absolue, comparaison série/intégrale. Suites de fonctions : convergence simple et uniforme, transmission de la continuité, de la dérivation, interversion intégrale et limite sur un intervalle borné. Séries entières : rayon de convergence, développements en séries entières usuels. Continuité et dérivabilité des fonctions à plusieurs variables : dérivées partielles, fonction de classe Ck, matrice jacobienne, développement limité.
Prérequis
La partie algèbre et analyse au programme du concours ou les notions de l’enseignement de remise à niveau en mathématiques