Calcul stochastique

Objectifs

Ce cours vise à fournir une présentation de la théorie des processus stochastiques et du calcul d’Itô, et à montrer comment ces notions et outils entrent dans des problématiques d’évaluation et de gestion des risques, auxquels les praticiens de la finance sont constamment confrontés. Le but est alors :
– d’expliquer les motivations pour l’emploi des processus stochastiques comme outils de modélisation des grandeurs économiques et financières,
– de motiver l’investissement mathématique spécifique nécessaire à la manipulation des processus stochastiques,
– de fournir les résultats mathématiques principaux des théories abordées sans entrer dans les détails techniques,
– de présenter des exemples concrets d’emploi des processus stochastiques en évaluation et gestion des risques.

Plan

1. Introduction : Rappel sur quelques notions de finance (marchés, arbitrage, options, etc.).
2. Processus à temps continu et mouvement brownien.
3. Intégration stochastique et formule d’Itô.
4. Modèle de Black-Scholes et évaluation d’options.
5. Intégrale stochastique par rapport à une martingale continue.
6. Equations différentielles stochastiques. Théorème de Girsanov.
7. Evaluation des produits dérivés.
8. Introduction des modèles avec processus à sauts

Prérequis

Une bonne maîtrise des outils probabilistes étudiés à l’Ensai, en particulier du cours de martingales et processus de Lévy de 2ème année.